题目

设 (q_n(k)) 是集合 ({1,2,\cdots,n}) 的保持 (k) 个点不动的排列的数目，求证：(\sum_{k = 0}^{n}k\cdot q_n(k)=n!)。

对于集合({1,2,\cdots,n})中的任意一个元素(i)（(1\leq i\leq n)），我们分析它在所有排列中作为不动点出现的次数。 若要使元素(i)在排列中保持不动，那么只需对剩下的(n - 1)个元素进行全排列。根据全排列的定义，(m)个不同元素的全排列数为(m!)，所以剩下(n - 1)个元素的全排列数为((n - 1)!)。这就意味着元素(i)在((n - 1)!)个排列中是不动点。 集合中一共有(n)个元素，每个元素都有((n - 1)!)种情况使其成为不动点。 而(\sum_{k = 0}^{n}k\cdot q_n(k))的实际意义是集合({1,2,\cdots,n})的所有排列中不动点的总数。 由于每个元素都能在((n - 1)!)个排列中作为不动点，那么所有元素作为不动点的总数为(n\times(n - 1)!)。 根据阶乘的运算法则(n\times(n - 1)!=n!)，所以(\sum_{k = 0}^{n}k\cdot q_n(k)=n!)。